シャノン＝ハートレー定理シミュレーター | デジタル通信・電波物理層の可視化ツール

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$$C = B \log_2 \left( 1 + \frac{S}{N} \right)$$

$C$: 最大通信容量 (理想スループット) -- kbps

$B$: チャネル帯域幅 (Bandwidth) -- kHz

$S$: 信受信信号電力 (Signal Power) -- W

$N$: 総雑音電力 ($N = N_0 \times B$) -- W

$S/N$: 信号対雑音比 (SNR) -- dB

実験用ノブ

【送信側】信号パワー (S) 50 W

送信信号の強度。強めるほど受信側のIQ星座図のプロットが外側へ広がり、ノイズに耐えやすくなります。

【物理制限】帯域幅 (B) 20 kHz

使用可能な周波数占有幅。広げることで伝送パイプは太くなりますが、比例して拾う総雑音電力 $N$ も自動増加します。

【受信環境】背景雑音密度 (N₀) 0.5 W/kHz

電子の熱運動などによる白色雑音の基準密度。この値が大きいほど、システム全体のノイズフロアが上昇します。

TX（送信機）と RX（受信機）の挙動特性

送信部 (TX): 増幅パワー --

信号の絶対電力 $S$ を決定。増幅することで受信側星座図の「中心からの距離（振幅）」が開き、少々の雑音の風（ノイズ）が吹いてもシンボル判定ミスを防ぐことができます。

受信部 (RX): 適応復調 --

受信部では、SNR環境に応じて復調方式（BPSK / QPSK / 16QAM）を自動切り替えします。信号がノイズに埋もれると、より頑丈なBPSK（2値）に変調を落として通信の切断を回避します。

データ伝送フロー（チャネル容量メタファー）

帯域幅（パイプの太さ）とS/N比（パケット通過のスムーズさ）の相互作用

現在の通信速度 (C) -- kbps

CH1: オシロスコープ (時間軸波形)

Real-time Oscilloscope

信号 (S) 雑音 (N) 合成受信波

CH2: スペクトルアナライザ (周波数軸)

Sweep Mode: ACTIVE

ノイズレベルチャネル帯域幅 B マックスホールド

CH3: 復調星座図 (IQ Constellation)

QPSK

I-Axis (同相成分) 符号誤り率: -- % Q-Axis (直交成分)

CH4: アイパターン (Eye Diagram)

EYE OPEN

時間のズレ (ジッタ) ※ 目(中央の空白)が閉じる＝信号判別不能シンボル周期

🔬 実験パラメータ影響ガイド（ノブ操作と各計測器の連動現象）

信号パワー (S) を引き上げると：

雑音の大きさを変えずに信号波の純粋な「強度」を高めます。

CH1 (オシロ): 信号波（緑）の振幅が垂直に拡大し、受信波（紫）のうねりが大きくなります。

CH2 (スペアナ): 中央に直立する信号スペクトルの緑のピークが鋭く、高く聳え立ちます。

CH3 (星座図): 各シンボル点が原点から遠ざかります。ブレの雲がしきい値から離れるため、エラー率（BER）が急減し、自動で高速な変調方式（16QAM）へ遷移します。

CH4 (アイ): 信号線の縦方向の振幅幅が大きくなり、目の「縦方向の開き」が大きくクッキリと解放されます。

利用帯域幅 (B) を広げると：

一度に送るシンボル速度（伝送パイの太さ）が上がりますが、同時に熱雑音を拾い込む面積も増大（N = N₀ × B）します。

CH1 (オシロ): 雑音の「高周波成分」が多く入り込むため、受信波のギザギザがより細かくトゲトゲしくなります。

CH2 (スペアナ): 水色に光る利用可能チャネルの幅が左右に拡大します。これに伴い、帯域内の「総雑音床（赤）」が盛り上がります.

CH3 (星座図): 通信速度 $C$ の上昇に合わせ、描画される点の間隔と密度が上がります。しかし同時に雑音電力も増すため、各星座点のブレ（拡散）も大きくなります。

CH4 (アイ): シンボルが高速になるため、時間のずれによる線のばらつき（ジッタ）が顕在化し、目の「横軸の開き」が狭まりやすくなります。

背景雑音密度 (N₀) を高めると：

空間や受信アンプの内部で発生する白色熱雑音を引き上げ、信号を埋もれさせる「敵」を強化します。

CH1 (オシロ): 赤いノイズ成分が激化し、受信合成波（紫）から綺麗な正弦波の周期性が完全に奪われます。

CH2 (スペアナ): 赤い「ノイズフロア底面」が垂直方向に上昇し、信号ピーク（緑）をじわじわと飲み込んでいきます。

CH3 (星座図): 点が理想のターゲットを中心に、ガウス分布に則って大きく分散（ブレ）し、霧のように広がります。しきい値を越えて誤判定が多く発生すると、低速な変調（QPSK → BPSK）に変調度が自動格下げされます。

CH4 (アイ): 重ね書きされるすべての波形ラインが極めて太く肥大化し、中央のアイ（空白部分）が完全に押し潰されて「目が閉じた状態（通信不能）」に陥ります。

📘 【電波物理層・数式証明】シャノンの極限と変調方式の決定理論

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なぜ「帯域幅を無限に広く」しても、速度は無限にならないのか？

「帯域幅 $B$ を広くすれば、通信速度 $C$ は比例して増えるはず」と考えがちですが、ここに物理的な限界が存在します。熱雑音の総電力 $N$ は、背景雑音の密度 $N_0$ に帯域幅 $B$ を掛け算したもので表されます：

$$N = N_0 \times B$$

これをシャノン＝ハートレーの定理式に代入すると、以下の形になります：

$$C = B \log_2 \left( 1 + \frac{S}{N_0 B} \right)$$

この状態で帯域幅 $B$ を無限大 ($B \to \infty$) に近づける極限を求めましょう。数式を展開しやすくするため、変数 $x = \frac{S}{N_0 B}$ と置きます。 $B \to \infty$ のとき、$x \to 0$ になります。また、この式を $B$ について解くと $B = \frac{S}{N_0 x}$ です。これを上の式へ代入します：

$$\lim_{B \to \infty} C = \lim_{x \to 0} \frac{S}{N_0 x} \log_2 \left( 1 + x \right)$$ $$\lim_{B \to \infty} C = \frac{S}{N_0} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \log_2 \left( 1 + x \right)$$ $$\lim_{B \to \infty} C = \frac{S}{N_0} \lim_{x \to 0} \log_2 \left( 1 + x \right)^{\frac{1}{x}}$$

ここで、微分積分学における最も重要な定数であるネイピア数（自然対数の底） $e$ の定義を適用します：

$$\lim_{x \to 0} \left( 1 + x \right)^{\frac{1}{x}} = e \approx 2.71828$$

この定義を極限に当てはめると、対数の性質から以下の収束値が求められます：

$$\lim_{B \to \infty} C = \frac{S}{N_0} \log_2 e$$ ここで $\log_2 e = \frac{1}{\ln 2} \approx 1.4427$ ですので、最終的な上限は次の通りになります： $$\lim_{B \to \infty} C \approx 1.4427 \times \frac{S}{N_0}$$

【結論】
帯域幅 $B$ をどれほど贅沢に無限に広げたとしても、通信容量は無限にはならず、送信電力 $S$ と背景雑音密度 $N_0$ の比率の約 1.44 倍の速度で完全に頭打ち（収束）します。これが宇宙通信や無線ネットワークにおける究極的な限界、「シャノン限界」の数学的な正体です。

IQ星座図（星座図）と適応変調方式の物理的メカニズム

受信機（レシーバ）のCH3で描画されている星座図は、電波の「同相成分 (In-phase: I)」と「直交相成分 (Quadrature: Q)」を直交二次元平面にマッピングしたものです。

BPSK (2値変調): 位相差180度で「0」と「1」の2シンボル（1ビット/シンボル）を送るため、点は左右に2つあります。ノイズにめっぽう強いですが、速度は遅いです。
QPSK (4値変調): 位相を90度ずつずらし「00」「01」「11」「10」の4シンボル（2ビット/シンボル）を送ります。適度なSNRで威力を発揮します。
16QAM (16値変調): 位相だけでなく振幅も変化させ、一度に16シンボル（4ビット/シンボル）を送ります。点が細かく格子状に並ぶため、少しでもノイズが入って点がぶれると隣の文字と判定ミスを起こします（エラー率の上昇）。そのため、非常に良好なS/N比が必須です。